圆锥曲线的焦点弦长新解(页 1) - 水池 Watering - 象牙塔 - 敏敏国际论坛

Timmy.Z 发表于 2006-6-5 15:53

圆锥曲线的焦点弦长新解

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34116.gif\" width=69>代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式<IMG height=29 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34117.gif\" width=193>求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。一. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34118.gif\" width=152>，半焦距为<IMG height=16 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34119.gif\" width=36>，焦点<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34120.gif\" width=148>，设过<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34121.gif\" width=18>的直线<IMG height=17 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34122.gif\" width=11>的倾斜角为<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34123.gif\" width=34>交椭圆于A、B两点，求弦长<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34124.gif\" width=32>。<IMG height=112 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34125.gif\" width=136>解：连结<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34126.gif\" width=73>，设<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34127.gif\" width=130>，由椭圆定义得<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34128.gif\" width=198>，由余弦定理得<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34129.gif\" width=245>，整理可得<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34130.gif\" width=100>，同理可求得<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34131.gif\" width=100>，则弦长<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34132.gif\" width=361>。同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34133.gif\" width=138>（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：<IMG height=90 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34134.gif\" width=250>二. 双曲线的焦点弦长设双曲线<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34135.gif\" width=176>，其中两焦点坐标为<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34136.gif\" width=148>，过<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34121.gif\" width=18>的直线<IMG height=17 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34122.gif\" width=11>的倾斜角为<IMG height=14 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34137.gif\" width=16>，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。解：（1）当<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34138.gif\" width=180>时，（如图2）直线<IMG height=17 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34122.gif\" width=11>与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34139.gif\" width=73>，设<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34127.gif\" width=130>，由双曲线定义可得<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34140.gif\" width=198>，由余弦定理可得<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34141.gif\" width=245>整理可得<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34142.gif\" width=106>，同理<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34143.gif\" width=106>，则可求得弦长<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34144.gif\" width=381>。<IMG height=151 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34145.gif\" width=139>（2）当<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34146.gif\" width=109>或<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34147.gif\" width=137>时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34126.gif\" width=73>，设<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34127.gif\" width=130>，则<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34148.gif\" width=93>，<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34149.gif\" width=93>，由余弦定理可得<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34141.gif\" width=245>，<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34150.gif\" width=282><IMG height=154 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34151.gif\" width=133>整理可得<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34152.gif\" width=225>，则<IMG height=44 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34153.gif\" width=390>因此焦点在x轴的焦点弦长为<IMG height=90 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34154.gif\" width=417>同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式<IMG height=90 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34155.gif\" width=416>其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，<IMG height=14 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34137.gif\" width=16>为AB的倾斜角。三. 抛物线的焦点弦长若抛物线<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34156.gif\" width=112>与过焦点<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34157.gif\" width=68>的直线<IMG height=17 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34122.gif\" width=11>相交于A、B两点，若<IMG height=17 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34122.gif\" width=11>的倾斜角为<IMG height=14 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34137.gif\" width=16>，求弦长|AB|？（图4）<IMG height=142 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34158.gif\" width=137>解：过A、B两点分别向x轴作垂线<IMG height=22 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34159.gif\" width=130>为垂足，设<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34160.gif\" width=54>，<IMG height=21 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34161.gif\" width=56>，则点A的横坐标为<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34162.gif\" width=84>，点B横坐标为<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34163.gif\" width=84>，由抛物线定义可得<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34164.gif\" width=289>即<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34165.gif\" width=188>则<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34166.gif\" width=326>同理<IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34167.gif\" width=65>的焦点弦长为<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34168.gif\" width=89><IMG height=24 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34169.gif\" width=65>的焦点弦长为<IMG height=41 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34170.gif\" width=92>，所以抛物线的焦点弦长为<IMG height=88 src=\"http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200405/101ktb/lanmu/XF1S0122/Image34171.gif\" width=201>由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。

attila 发表于 2007-4-22 20:17

FAINT,玩了三个月,东西差不多忘光了应试教育这个东西不靠题海战术还真的是无解啊

��Ǵ�ҵ 发表于 2008-4-17 22:16

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lrdldo 发表于 2008-12-24 09:01

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